Hanyoyi na geometric da kauri

Lokacin da nake rubuta wannan labarin, na tuna da wata tsohuwar waƙa ta Jan Pietrzak, wadda ya rera kafin aikinsa na satirical a cikin cabaret Pod Egidą, wanda aka sani a Jamhuriyar Jama'ar Poland a matsayin bawul na aminci; mutum na iya yin dariya da gaskiya game da rikice-rikice na tsarin. A cikin wannan waƙar, marubucin ya ba da shawarar shiga siyasa na gurguzu, yana ba'a ga masu son yin siyasa da kuma kashe rediyo a cikin jarida. "Ya fi kyau a koma karatun makaranta," in ji Petshak mai shekaru XNUMX a lokacin.

Zan koma makaranta karatu. Ina sake karantawa (ba a karon farko ba) littafin Shchepan Yelensky (1881-1949) "Lylavati". Ga masu karatu kaɗan, kalmar da kanta ta faɗi wani abu. Wannan shine sunan 'yar shahararren masanin lissafin Hindu wanda aka fi sani da Bhaskara (1114-1185), mai suna Akaria, ko kuma mai hikima wanda ya sanya wa littafinsa lakabi akan algebra da wannan sunan. Daga baya Lilavati ta zama sanannen masanin lissafi da falsafa da kanta. A cewar wasu majiyoyi, ita ce ta rubuta littafin da kanta.

Szczepan Yelensky ya ba da wannan lakabi ga littafinsa a kan lissafi (bugu na farko, 1926). Yana iya zama ma da wuya a kira wannan littafin aikin ilmin lissafi - ya kasance fiye da tsarin wasanin gwada ilimi, kuma an sake rubuta shi daga majiyoyin Faransanci (haƙƙin mallaka a ma'anar zamani ba ya wanzu). A kowane hali, shekaru da yawa shi ne kawai mashahurin littafin Yaren mutanen Poland akan lissafi - daga baya aka ƙara littafin Jelensky na biyu, Pythagoras's Sweets. Don haka matasa masu sha'awar ilimin lissafi (wanda shine ainihin abin da na kasance a da) ba su da abin da za su zaɓa daga ...

a gefe guda kuma, "Lilavati" dole ne a san shi kusan da zuciya ... Ah, akwai lokuta ... Babban fa'idarsu shine cewa ni ... matashi ne a lokacin. A yau, daga ra'ayi na mai ilimin lissafin ilmin lissafi, na dubi Lilavati a wata hanya daban-daban - watakila kamar hawan dutse a kan bends na hanyar Shpiglasova Pshelench. Ba ɗaya ko ɗayan ba ya rasa fara'a ... A cikin salon halayensa, Shchepan Yelensky, wanda ke da'awar abin da ake kira ra'ayoyin kasa a rayuwarsa, ya rubuta a cikin gabatarwa:

Ba tare da taɓa bayanin halayen ƙasa ba, zan ce ko da bayan shekaru casa'in, kalmomin Yelensky game da ilimin lissafi ba su rasa mahimmancin su ba. Lissafi yana koya muku tunani. Gaskiya ne. Za mu iya koya muku yin tunani dabam, mafi sauƙi kuma mafi kyau? Zai iya zama Kawai... har yanzu ba za mu iya ba. Ina bayyana wa dalibana da ba sa son yin lissafi cewa wannan ma gwajin basira ne. Idan ba za ku iya koyon ainihin ka'idar lissafi mai sauƙi ba, to...wataƙila ikon tunanin ku ya fi muni da mu biyun da muke so...?

Alamu a cikin yashi

Kuma a nan shi ne labari na farko a cikin "Lylavati" - labarin da wani masanin falsafa na Faransa Joseph de Maistre (1753-1821) ya bayyana.

igiyar ruwa ta jefa wani matuƙin jirgin ruwa da ya lalace a wani bakin teku da babu kowa a ciki, wanda ya ɗauka cewa ba kowa. Ba zato ba tsammani, a cikin yashi na bakin teku, ya ga alamar wani siffa na geometric da aka zana a gaban wani. A lokacin ne ya gane cewa tsibirin ba kowa ba ne!

Da yake ambato de Mestri, Yelensky ya rubuta: siffar geometricda ya zama bebe ne ga marassa sa'a, jirgin ruwa ya tarwatse, kwatsam, amma ya nuna masa a kalle-kalle da adadi, kuma wannan ya sanar da mutum mai wayewa. Sosai ga tarihi.

Lura cewa matuƙin jirgin ruwa zai haifar da irin wannan hali, misali, ta hanyar zana harafin K, ... da duk wani alamar kasancewar mutum. Anan tsarin lissafi ya dace.

Duk da haka, masanin taurari Camille Flammarion (1847-1925) ya ba da shawarar cewa wayewa suna gaishe juna daga nesa ta hanyar amfani da ilimin lissafi. Ya ga a cikin wannan kawai daidai kuma yuwuwar ƙoƙari na sadarwa. Bari mu nuna irin waɗannan Marians triangles na Pythagorean ... za su amsa mana da Thales, za mu amsa su da tsarin Vieta, da'irar su za ta dace da triangle, don haka abota ta fara ...

Marubuta irin su Jules Verne da Stanislav Lem sun koma kan wannan ra'ayin. Kuma a cikin 1972, an sanya fale-falen fale-falen buraka tare da tsarin geometric (kuma ba wai kawai) akan jirgin binciken Pioneer ba, wanda har yanzu ya ketare sararin sararin samaniya, yanzu kusan raka'o'in astronomical 140 daga gare mu (1 I shine matsakaicin nisa na Duniya daga Duniya). . Sun, watau, kimanin kilomita miliyan 149). Masanin falaki Frank Drake ne ya tsara tayal ɗin, wanda ya kirkiro ƙa'idar da ke haifar da cece-kuce kan adadin wayewar da ba ta dace ba.

Geometry yana da ban mamaki. Dukanmu mun san mahangar gabaɗaya akan asalin wannan kimiyya. Mu (mu mutane) yanzu mun fara auna ƙasar (da kuma daga baya) don dalilai masu amfani. Ƙayyade nisa, zana madaidaitan layi, yiwa kusurwar dama da ƙididdige ƙididdiga a hankali ya zama dole. Saboda haka gaba daya lissafi ("Aunawar Duniya"), don haka duk ilimin lissafi ...

Koyaya, na ɗan lokaci wannan bayyananniyar hoton tarihin kimiyya ya ruɗe mu. Domin idan ana buƙatar lissafin lissafi don dalilai na aiki kawai, da ba za mu tsunduma cikin tabbatar da ƙa'idodi masu sauƙi ba. "Kun ga cewa wannan ya kamata ya zama gaskiya kwata-kwata," mutum zai ce bayan duba cewa a cikin damamman triangles da dama jimlar murabba'in hypotenuses daidai yake da murabba'in hypotenuse. Me yasa irin wannan tsari?

Plum pie dole ne ya zama mai daɗi, tsarin kwamfuta ya yi aiki, injin yana aiki. Idan na kirga karfin ganga har sau talatin kuma komai yana cikin tsari, to me ya sa kuma?

A halin yanzu, ya faru ga Helenawa na dā cewa ana buƙatar samun wasu shaidu na yau da kullun.

Don haka, lissafin yana farawa da Thales (625-547 BC). Ana tsammanin Miletus ne ya fara mamakin dalilin da ya sa. Bai isa ga masu hankali ba cewa sun ga wani abu, cewa sun gamsu da wani abu. Sun ga bukatar hujja, jerin mahawara ta ma'ana tun daga zato zuwa kasida.

Sun kuma so fiye. Wataƙila Thales ne ya fara ƙoƙarin bayyana al'amuran zahiri ta hanyar dabi'a, ba tare da sa hannun Allah ba. Falsafar Turai ta fara ne da falsafar yanayi - tare da abin da ya riga ya kasance bayan ilimin kimiyyar lissafi (don haka sunan: metaphysics). Amma Pythagoras (Pythagoras, c. 580-c. 500 BC).

Ya kafa nasa makaranta a Crotone a kudancin Apennine Peninsula - a yau za mu kira ta ƙungiya. Kimiyya (a halin yanzu na kalmar), sufanci, addini da fantasy duk suna da alaƙa da juna. Thomas Mann da kyau ya gabatar da darussan ilimin lissafi a gidan wasan motsa jiki na Jamus a cikin littafin labari Dokta Faustus. Maria Kuretskaya da Witold Virpsha ne suka fassara wannan guntun:

A cikin littafin Charles van Doren mai ban sha'awa, Tarihin Ilimi daga Dawn na Tarihi zuwa Ranar Yau, na sami ra'ayi mai ban sha'awa sosai. A cikin ɗaya daga cikin surori marubucin ya bayyana mahimmancin makarantar Pythagorean. Taken surar ya burge ni. Yana karanta: "Invention of Mathematics: The Pythagoreans".

Sau da yawa muna magana akan ko ana gano ka'idodin lissafin (misali ƙasashen da ba a san su ba) ko ƙirƙira (misali inji waɗanda ba su wanzu a da). Wasu masanan lissafin ƙirƙira suna ganin kansu a matsayin masu bincike, wasu a matsayin masu ƙirƙira ko masu ƙirƙira, ƙarancin ƙima.

Amma marubucin wannan littafi ya yi rubutu game da ƙirƙirar lissafi gabaɗaya.

Daga wuce gona da iri zuwa rudu

Bayan wannan dogon zango na gabatarwa, zan ci gaba zuwa farkon. lissafidon bayyana yadda dogaro fiye da kima akan ilimin lissafi zai iya yaudarar masanin kimiyya. Johannes Kepler sananne ne a fannin kimiyyar lissafi da ilmin taurari a matsayin wanda ya gano dokokin motsi na sararin samaniya. Na farko, kowace duniyar da ke cikin tsarin hasken rana tana zagayawa da rana a cikin kewayawa mai elliptical, kuma rana tana ɗaya daga cikin abubuwan da ke cikinta. Na biyu, a cikin tazarar yau da kullun, hasken hasken duniya, wanda aka zana daga Rana, yana zana filayen daidai. Na uku, rabon murabba'in lokacin juyin juya halin duniyar da ke kewaye da Rana zuwa kubu na mafi girman axis na kewayawarta (watau matsakaicin nisa daga Rana) yana dawwama ga dukkan duniyoyin da ke cikin tsarin hasken rana.

Wataƙila wannan ita ce doka ta uku - tana buƙatar bayanai da yawa da ƙididdiga don kafa shi, wanda ya sa Kepler ya ci gaba da neman alamu a cikin motsi da matsayi na taurari. Tarihin sabon “ganowa” nasa yana da koyarwa sosai. Tun zamanin d ¯ a, mun sha'awar ba kawai polyhedra na yau da kullum ba, har ma da muhawarar da ke nuna cewa akwai biyar kawai a sararin samaniya. Ana kiran polyhedron mai girma uku na yau da kullun idan fuskokin sa iri ɗaya ne na yau da kullun kuma kowane gefe yana da adadin gefuna iri ɗaya. Misali, kowane kusurwa na polyhedron na yau da kullun yakamata ya “yi kama da iri ɗaya”. Mafi shahararren polyhedron shine cube. Kowa ya ga idon sawun talakawa.

Tetrahedron na yau da kullun ba a san shi sosai ba, kuma a makaranta ana kiransa dala triangular na yau da kullun. Yana kama da dala. Sauran polyhedra guda uku na yau da kullun ba a san su sosai ba. Ana yin octahedron lokacin da muka haɗa cibiyoyin gefuna na cube. Dodecahedron da icosahedron sun riga sun yi kama da bukukuwa. Anyi daga fata mai laushi, za su kasance masu jin dadi don tono. Tunanin cewa babu polyhedra na yau da kullun in ban da daskararrun Platonic biyar yana da kyau sosai. Na farko, mun gane cewa idan jiki ya kasance na yau da kullum, to, lamba ɗaya (bari q) na nau'in polygons na yau da kullum dole ne ya haɗu a kowane gefe, bari waɗannan su zama p-angles. Yanzu muna buƙatar mu tuna abin da ke cikin kusurwar polygon na yau da kullum. Idan wani bai tuna daga makaranta ba, muna tunatar da ku yadda ake samun tsari mai kyau. Mun yi tafiya a kusa da kusurwa. A kowane gefe muna juya ta kwana ɗaya a. Lokacin da muka zagaya polygon kuma muka koma wurin farawa, mun yi p irin wannan juyi, kuma gabaɗaya mun juya digiri 360.

Amma α shine 180 digiri 'madaidaicin kusurwar da muke so mu lissafta, don haka shine

Mun sami dabarar kusurwa (masanin lissafi zai ce: ma'aunin kusurwa) na polygon na yau da kullun. Bari mu duba: a cikin triangle p = 3, babu a

Kamar wannan. Lokacin p = 4 (square), sannan

digiri yana da kyau kuma.

Menene muke samu don pentagon? Don haka menene zai faru idan akwai q polygons, kowane p yana da kusurwoyi iri ɗaya

 digiri na saukowa a tsaye daya? Idan a cikin jirgin sama ne, to, kwana zai yi

digiri kuma ba zai iya zama fiye da digiri 360 ba - saboda a lokacin polygons sun zo.

Duk da haka, tun da waɗannan polygons suna haɗuwa a sararin samaniya, dole ne kwana ya zama ƙasa da cikakken kusurwa.

Kuma ga rashin daidaiton abin da ya biyo baya:

Raba shi da 180, ninka sassan biyu ta p, oda (p-2) (q-2) < 4. Menene ya biyo baya? Mu sani cewa p da q dole ne su zama lambobi na dabi'a kuma p> 2 (me yasa? Kuma menene p?) da kuma q > 2. Babu hanyoyi da yawa don sanya samfurin lambobi biyu kasa da 4. Mu Zan jera su duka a cikin tebur 1.

Ba na buga zane-zane ba, kowa yana iya ganin waɗannan adadi akan Intanet ... A Intanet ... Ba zan ƙi ƙin ƙwaƙƙwaran lyrical - watakila yana da ban sha'awa ga matasa masu karatu. A 1970 na yi magana a wani taron karawa juna sani. Taken ya yi wuya. Ina da ɗan lokaci don yin shiri, Ina zaune da maraice. Babban labarin an karanta shi kawai a wurin. Wurin yana da daɗi, tare da yanayin aiki, da kyau, ya rufe a bakwai. Sai amarya (a yanzu matata) da kanta ta ba da damar sake rubuta mani gabaɗayan labarin: kusan shafuka goma sha biyu da aka buga. Na kwafe shi (a'a, ba da alƙalami ba, har ma muna da alkaluma), lacca ta yi nasara. A yau na yi ƙoƙari in sami wannan littafin, wanda ya riga ya tsufa. Na tuna kawai sunan marubucin ... Bincike a kan Intanet ya dauki lokaci mai tsawo ... cikakken minti goma sha biyar. Ina tunani game da shi tare da murmushi da ɗan nadama mara dalili.

Mu koma Kepler da geometry. A bayyane yake, Plato ya annabta wanzuwar nau'i na biyar na yau da kullum domin ya rasa wani abu mai haɗa kai, wanda ya shafi dukan duniya. Watakila shi ya sa ya umurci wata daliba (Theajtet) ta neme ta. Kamar yadda yake, haka yake, a kan abin da aka gano dodecahedron. Muna kiran wannan hali na Plato pantheism. Duk masana kimiyya, har zuwa Newton, sun yarda da shi zuwa girma ko ƙarami. Tun daga karni na goma sha takwas mai ma'ana sosai, tasirinsa ya ragu sosai, ko da yake bai kamata mu ji kunyar cewa dukkanmu mun mika wuya gare shi ta wata hanya ko wata ba.

A cikin tunanin Kepler na gina tsarin hasken rana, duk abin da yake daidai, bayanan gwaji sun zo daidai da ka'idar, ka'idar ta kasance mai daidaituwa, mai kyau sosai ... amma gaba daya karya. A zamaninsa, taurari shida ne kawai aka sani: Mercury, Venus, Duniya, Mars, Jupiter da Saturn. Me yasa taurari shida ne kawai? Kepler ya tambaya. Kuma wane tsari ne ke ƙayyade nisa daga Rana? Ya dauka cewa komai yana hade, wato geometry da cosmogony suna da kusanci da juna. Daga rubuce-rubucen tsohuwar Helenawa, ya san cewa akwai polyhedra guda biyar kawai. Ya ga ashe akwai ɓangarorin guda biyar a tsakanin taurari shida. Don haka watakila kowane ɗayan waɗannan wuraren kyauta ya dace da wasu polyhedron na yau da kullun?

Bayan shekaru da yawa na lura da ka'idar aiki, ya halicci wadannan ka'idar, tare da taimakon abin da ya lissafta quite daidai da girma na orbits, wanda ya gabatar a cikin littafin "Mysterium Cosmographicum", da aka buga a 1596: Ka yi tunanin wani giant Sphere. diamita wanda shine diamita na kewayawar Mercury a cikin motsinta na shekara-shekara a kusa da rana. Sa'an nan kuma ku yi tunanin cewa a kan wannan fili akwai octahedron na yau da kullum, a kan sa wani yanki, a kan shi ma'auni, a kan shi kuma akwai dodecahedron, a kan shi wani yanki, a kan shi tetrahedron, sa'an nan kuma wani sphere, cube. kuma, a ƙarshe, akan wannan cube an kwatanta ƙwallon.

Kepler ya ƙarasa da cewa diamita na waɗannan sassan da suka biyo baya sune diamita na kewayen sauran taurari: Mercury, Venus, Duniya, Mars, Jupiter, da Saturn. Ka'idar ta zama daidai sosai. Abin takaici, wannan ya zo daidai da bayanan gwaji. Kuma wace shaida ce ta fi dacewa da daidaiton ka'idar lissafi fiye da rubutaccen bayani tare da bayanan gwaji ko bayanan lura, musamman "an ɗauko daga sama"? Na taƙaita waɗannan lissafin a cikin Table 2. To menene Kepler ya yi? Na gwada kuma na gwada har sai da ya yi aiki, wato, lokacin da tsari (tsari na spheres) da sakamakon lissafin ya zo daidai da bayanan lura. Anan akwai adadi da ƙididdiga na Kepler na zamani:

Mutum na iya mika wuya ga sha'awar ka'idar kuma yayi imani cewa ma'auni a cikin sararin sama ba daidai ba ne, kuma ba lissafin da aka yi a cikin shiru na taron ba. Abin baƙin ciki, a yau mun san cewa akwai akalla tara taurari da kuma cewa duk coincidence na sakamakon ne kawai daidaituwa. Abin tausayi. Yayi kyau sosai...